Fiche de cours de mathématiques

Troisième

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès:

Il s'applique exclusivement lorsque deux droites parallèles coupes deux droites concourantes.

Il permet de déterminer des longueurs dans la figure géométrique considérée.

Énoncé (cas d'un triangle):

Soit le triangle ABC avec formule mathématique , formule mathématique et formule mathématique . Soit formule mathématique un point de formule mathématique tel que formule mathématique .

Calculer la longueur formule mathématique puis la longueur formule mathématique .

figure géométrique

Démonstration:

Dans le triangle formule mathématique , formule mathématique et formule mathématique sont concourantes en formule mathématique et formule mathématique alors, d'après le théorème de Thalès:

Remarque: pour ne pas se tromper, on écrit les rapports de longueur en commençant par le point où les droites sont concourantes, c'est à dire ici le point C.

formule mathématique formule mathématique formule mathématique

On en déduit en effectuant un produit en croix que:
formule mathématique et que formule mathématique

Énoncé (cas d'un quadrilatère croisé):

Soit les droites formule mathématique et formule mathématique sécantes en formule mathématique tel que formule mathématique , formule mathématique , formule mathématique et formule mathématique .

Calculer la longueur formule mathématique puis la longueur formule mathématique .

figure géométrique

Démonstration:

Dans le quadrilatère croisé formule mathématique , formule mathématique et formule mathématique sont concourantes en formule mathématique et formule mathématique alors, d'après le théorème de Thalès:

Remarque: pour ne pas se tromper, on écrit les rapports de longueur en commençant par le point où les droites sont concourantes, c'est à dire ici le point C.

formule mathématique formule mathématique formule mathématique On en déduit en effectuant un produit en croix que:
formule mathématique et que formule mathématique

La réciproque du théorème de Thalès

Elle permet de démontrer que deux droites sont parallèles:

Elle nécessite la connaissance de deux rapports de longueurs sur la figure considérée.

Énoncé(cas d'un triangle)

Soit le triangle formule mathématiqueavec formule mathématique, formule mathématiqueet formule mathématique. Soit formule mathématique un point de formule mathématiquetel que formule mathématiqueet formule mathématiquele point de formule mathématiquetel que formule mathématique.

Démontrer que formule mathématique.

figure géométrique

Démonstration:

formule mathématiqueet formule mathématiquesont concourantes en formule mathématique.

Remarque: On calcule d'abord séparément les rapports de longueur comme si on appliquait Thalès (voir ci-dessus, seul deux rapports suffisent) puis on regarde si ces rapports sont égaux.

formule mathématique
formule mathématique

On remarque que formule mathématiquedonc d'après la réciproque du théorème de Thalès, formule mathématique.

Énoncé (cas d'un quadrilatère croisé)

Soit les droites formule mathématiqueet formule mathématiquesécantes en formule mathématiquetel que formule mathématique, formule mathématique, formule mathématique, formule mathématiqueet formule mathématique.

Démontrer que formule mathématique.

figure géométrique

Démonstration:

formule mathématiqueet formule mathématiquesont concourantes en formule mathématique

Remarque: On calcule d'abord séparément les rapports de longueur comme si on appliquait Thalès (voir ci-dessus, seul deux rapports suffisent) puis on regarde si ces rapports sont égaux.

formule mathématique
formule mathématique

On remarque que formule mathématiquedonc d'après la réciproque du théorème de Thalès, formule mathématique.

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