Fiche de cours de mathématiques

Troisième

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Le théorème de Pythagore:

Il s'applique exclusivement dans les triangles rectangles.

Il permet de déterminer une longueur inconnue d'un côté d'un triangle rectangle quand on connait la longueur de deux autres côtés.

Énoncé:

Soit le triangle ABC rectangle en A , avec AB =   3   cm et AC =   4   cm , calculer la longueur BC .

figure géométrique

Démonstration:

Dans le triangle ABC rectangle en A , d'après le théorème de Pythagore:
BC 2 = AB 2 + AC 2
BC 2 = 3 2 + 4 2
BC 2 = 9 + 16
BC 2 = 25
BC = 25
BC = 5   cm

La réciproque du théorème de Pythagore

Elle permet de démontrer qu'un triangle est rectangle:

Elle nécessite la connaissance des longueurs des 3 côtés du triangle considéré.

Énoncé:

Soit le triangle ABC tel que AB = 10   cm , AC = 8   cm et BC = 6   cm .
Démontrer que ce triangle est rectangle.

figure géométrique

Démonstration:

Calculons le carré des longueurs des trois côtés du triangle ABC:
A B 2 = 10 2 = 100
A C 2 = 8 2 = 64
B C 2 = 6 2 = 36

Remarque: Il faut calculer la somme des carrés des longueurs des plus petits côtés et la comparer au carré de la longueur la plus grande, si les résultats sont égaux alors le triangle est rectangle en « la lettre commune aux deux petits côtés »

On remarque que AC 2 + B C 2 = 64 + 36 = 100 d'où AB 2 = AC 2 + BC 2 et donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C .

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