Fiche de cours de mathématiques

Terminale S

Les nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes, notéformule mathématique mathématique 1, est l'ensemble des nombresformule mathématique 6tel queformule mathématique 2avec formule mathématique 3, formule mathématique 4et formule mathématique 5.

formule mathématique 10est appelé la partie réelle du nombre complexe (notéformule mathématique 39) etformule mathématique 11la partie imaginaire (notéformule mathématique 38).

On peut associer à tout nombre complexeformule mathématique 12 un point imageformule mathématique 13dans le plan complexeformule mathématique 9.

On appelle "module deformule mathématique 15" (notéformule mathématique 18) le réel positifformule mathématique 22correspondant à la distanceformule mathématique 14et "argument deformule mathématique 19" (notéformule mathématique 20), le réelformule mathématique 17correspondant à une mesure de l'angle orientéformule mathématique 16 àformule mathématique 21près.

On dit queformule mathématique 23est l'image du nombre complexeformule mathématique 24et queformule mathématique 25est l'affixe du pointformule mathématique 29.

On appelle réel pur tout nombre complexeformule mathématique 40 (formule mathématique 42) et on appelle imaginaire pur tout nombre complexeformule mathématique 41 (formule mathématique 43).

Soitformule mathématique 2, on appelle conjugué deformule mathématique 27le nombre complexeformule mathématique 28.

Soitformule mathématique 30l'image du nombre complexeformule mathématique 31etformule mathématique 32l'image du nombre complexeformule mathématique 33alorsformule mathématique 36est le symétrique deformule mathématique 37par rapport à l'axe des réels (axe des abscisses).

Il existe trois écritures possibles pour un nombre complexe:

-L'écriture algébrique: formule mathématique 44.

-L'écriture trigonométrique: formule mathématique 45.

-L'écriture exponentielle: formule mathématique 46.

Le moduleformule mathématique 48d'un nombre complexe se détermine à partir de son écriture algébrique grâce à la formule suivante:

formule mathématique 47

L'argumentformule mathématique 49d'un nombre complexe se trouve à l'aide du cercle trigonométrique après avoir préalablement déterminé son cosinus et son sinus grâce aux relations suivantes:

formule mathématique 50

cercle trigonométrique

Soit deux pointsformule mathématique 54etformule mathématique 55ayant pour affixe respectiveformule mathématique 34etformule mathématique 35, on peut alors calculer l'affixe du vecteurformule mathématique 51:

formule mathématique 52

On peut également calculer la distance formule mathématique 53:

formule mathématique 56

On peut également déterminer un angle orienté:

formule mathématique 57 Et plus généralement: formule mathématique 58

Il est possible de déterminer des solutions complexes aux équations du second degré dont le discriminent est négatif. En effet pour l'équationformule mathématique 59, siformule mathématique 60alors il existe deux solutions dansformule mathématique 61:

formule mathématique 62

Quelques propriétés à connaître concernant les modules:

formule mathématique 63

Quelques propriétés à connaître concernant les arguments:

formule mathématique 64

Quelques propriétés à connaître concernant les opérations avec les conjugués des nombres complexes:

formule mathématique 65

Dans tous les calculs concernants les nombres complexes, on ne laissera jamaisformule mathématique 114dans un résulat final (se souvenir queformule mathématique 115) et on ne laissera jamais deformule mathématique 116au dénominateur (penser à multiplier par l'expression conjuguée).

Formule d'Euler:

formule mathématique 66

Translation: Soit deux pointsformule mathématique 67etformule mathématique 68d'affixe respectiveformule mathématique 69etformule mathématique 70. Siformule mathématique 71est l'image deformule mathématique 72par translation de vecteurformule mathématique 73alors:

formule mathématique 74

Rotation: Soit deux pointsformule mathématique 75etformule mathématique 76d'affixe respectiveformule mathématique 77etformule mathématique 78. Siformule mathématique 79est l'image deformule mathématique 80par rotation de centreformule mathématique 81d'affixeformule mathématique 82et d'angleformule mathématique 83alors:

formule mathématique 84

Homothétie: Soit deux pointsformule mathématique 86etformule mathématique 87d'affixe respectiveformule mathématique 88etformule mathématique 89. Siformule mathématique 90est l'image deformule mathématique 91par homothétie de centreformule mathématique 92d'affixeformule mathématique 93et de rapportformule mathématique 94alors:

formule mathématique 85

Il faut savoir interpréter géométriquement une égalité complexe et réciproquement savoir transformer les propriétés géométriques en égalité complexe. Voici un petit tableau non exhaustif afin de vous y aider:

Egalité complexe

Intérprétation géométrique

formule mathématique 95

La distanceformule mathématique 96est égale à 3.

formule mathématique 97

formule mathématique 101alors

ABC est un triangle réctangle en B.

formule mathématique 102etformule mathématique 103

ABC est un triangle isocèle réctangle en B.

formule mathématique 99

formule mathématique 104etformule mathématique 105

ABC est un triangle équilatéral.

formule mathématique 100

formule mathématique 106

ABCD est un parallélogramme.

formule mathématique 107

formule mathématique 108

ABCD est un trapèze.

formule mathématique 109

formule mathématique 110

Le point M appartient à la médiatrice du segmentformule mathématique 111.

formule mathématique 112

formule mathématique 113

Le point M appartient au cercle de centre A et de rayon R.

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