Fiche de cours de mathématiques

Terminale S (spécialité)

L'arithmétique

La division euclidienne de a par b se traduit par l'existence d'un unique entier relatif q et d'un unique entier naturel r tel que:

a=bq+r avec ab*qr0r<b

q est appelé le quotient et r le reste.

Si dans la division euclidienne il existe un entier relatif q tel que r=0 alors on dit que a est divisible par b ou bien que a est un multible de b.

Quelques propriétés de la divisibilité à connaître:

S'il existe un entier relatif c tel que a et c aient le même reste dans la division euclidienne par c on dit que a est congru à c modulo b, c'est à dire que b divise a-c. Cette propriété sera notée:

acb

Quelques propiétés de la congruence à connaître (avec a, c, d, e, n et b*)

Soit a et b deux entiers relatifs, leur plus grand diviseur commun est noté:

PGCDa,b

Pour déterminer PGCDa,b, il suffit de décomposer a et b en produit de facteurs premiers et de repérer leurs facteurs communs. PGCDa,b est alors égal au produit de ces facteurs.

Qelques propriétés à connaître avec ab:

Un nombre est dit "premier" s'il n'admet que deux diviseurs: 1 et lui même. Il faut connaître les nombres premiers suivants: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Tout entier naturel n1 admet au moins un diviseur p tel que 1pn

Si deux nombres n'ont que 1 comme diviseurs communs alors on dit qu'ils sont premiers entre eux.

On appelle équations diophantiennes les équations de la forme au+bv=c avec a, b et c trois entiers relatifs non nul connus et u et v deux entiers relatifs à déterminer.

Théorème de Bézout: Soit a et b deux entiers naturels non nuls alors l'équation diophantienne au+bv=PGCD(a,b) admet des solutions dans ×.

Il en découle que PGCD(a,b)=1 si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv=1 .

Corollaire du théorème de Bézout: au+bv=c admet des solutions dans × si et seulement si c est un multiple de PGCD(a,b).

L'algorithme d'Euclide permet de trouver un couple de solutions particulier aux équations diophantiennes. Il se décompose selon le modèle suivant:

a=bq+r avec 0r<bb=rq1+r1 avec 0r1<rr=r1q2+r2avec 0r2<r1...rn-2=rn-1qn+rn avec 0rnrn-1rn-1=rnqn+1

En remontant l'algorithme d'Euclide, on trouve alors le couple de solutions particulier recherché.

Théorème de Gauss: Soit a, b et c deux entiers non nuls tels que a divise b×c et tel que a est premier avec b, alors a divise c.

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