Fiche de cours de mathématiques

Terminale S

Les suites numériques

On appelle suite numérique toute application de dans , c'est à dire l'application mathématique qui à tout entier naturel donne un nombre réel quelconque. Cet application est notée ( U n ) avec n . On peut retenir ainsi qu'une suite numérique est un peu comme une fonction classique sauf que la variable n'est pas ici un réel mais un entier naturel.

Le nombre U n est appelé «  terme de la suite ( U n ) de rang n  ». Ainsi U 0 est le terme de rang 0, U 1 est le terme de rang 1, etc...

Lorsque le terme général de la suite ( U n ) est exprimé directement en fonction de n , on dit que la suite est exprimée de façon explicite. On pourra alors calculer directement la valeur de n'importe quel terme de la suite connaissant n

Lorsque le terme général de la suite ( U n ) est exprimé en fonction d'un autre terme de la suite (en général U n + 1 ), on dit que la suite est exprimée de façon récurrente. On ne pourra pas calculer directement la valeur de n'importe quel terme de la suite connaissant n , il faudra calculer tous les termes précédents. En général, on cherche dans les exercices à trouver la forme explicite de la suite ( U n ) .

Lorsque la suite est explicite, on étudie généralement son sens de variation en posant U n = f ( n ) et en étudiant le sens de variation de f sur [ 0 ; + [ .

Lorsque la suite est récurrente, on étudie généralement sons sens de variation en étudiant le signe de U n + 1 U n sur son ensemble de définition:

Si U n + 1 U n < 0 alors ( U n ) est décroissante.

Si U n + 1 U n > 0 alors ( U n ) est croissante.

Si U n + 1 U n = 0 Alors ( U n ) est constante.

Lorsque l'on veut étudier la convergence d'une suite, on calcule en général la limite de U n quand n tend vers + . Si on peut conclure sur une limite finie, noté ,alors la suite converge vers , sinon la suite diverge.

On peut également utilisé le théorème de comparaison pour conclure sur la convergence ou la divergence d'une suite. En effet, s'il existe deux suites ( U n ) et ( V n ) tel que, à partir d'un certain rang n , U n V n alors:

Si Lim n + V n = alors Lim n + U n = .

Si Lim n + U n = + alors Lim n + V n = + .

Théorème des gendarmes: De la même façon, s'il existe trois suite ( U n ) , ( V n ) et ( W n ) tel que U n V n W n et que Lim n U n = Lim n W n = avec alors:

Lim n + V n =

Deux suites ( U n ) et ( V n ) sont dites adjacentes si, sur leur domaine de définition:

U n V n ,
( U n ) est croissante,
( V n ) est décroissante,
Lim n + ( U n V n ) = 0

Deux suites adjacentes sont toujours convergentes puisqu'elles admettent la même limite finie.

Une suite ( U n ) est minorée par m si et seulement si, pour tout n , U n m . Toutes les suite qui sont minorées et décroissantes sont convergentes.

Un suite ( U n ) est majorée par M si et seulement si, pour tout n , U n M . Toutes les suite qui sont majorées et croissantes sont convergentes.

Si ( U n ) admet à la fois un minorant et un majorant, on dit qu'elle est bornée.

Toute suite monotone croissante est minorée par son premier terme.

Toute suite monotone décroissante est majorée par son premier terme.

Une suite est dites arithmétiques si, pour passer d'un terme de la suite au terme suivant, on ajoute toujours le même nombre réel r appelé raison de la suite. L'expression récurrente d'une suite arithmétique est donc de la forme:

U n + 1 = U n + r .

Pour prouver qu'une suite est arithmétique, il suffit donc de calculer la différence U n + 1 U n et de trouver un nombre réel qui est la raison de la suite.

Soit une suite arithmétique de premier terme U 0 et de raison r . La suite arithmétique peut alors être exprimée de façon explicite:

U n = U 0 + nr

Deux termes de rang n et p > d'une suite arithmétique sont relié par la relation suivante:

U n = U p + ( n p ) r

Soit S la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique ( U n ) . S peut être directement calculée grâce à la relation:

S = nbre   de   termes × 1 er +   dernier 2

Une suite est dites géométrique si, pour passer d'un terme de la suite au terme suivant, on multiplie toujours par le même nombre réel q appelé raison de la suite. L'expression récurrente d'une suite géométrique est donc de la forme:

U n + 1 = U n × q .

Pour prouver qu'une suite est géométrique, il suffit donc de calculer le quotient U n + 1 U n avec U n 0 et de trouver un nombre réel qui est la raison de la suite.

Soit une suite géométrique de premier terme U 0 et de raison q . La suite géométrique peut alors être exprimée de façon explicite:

U n = U 0 × q n

Deux termes de rang n et p d'une suite géométrique sont relié par la relation suivante:

U n = U p × q n p

Soit S la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique ( U n ) . S peut être directement calculée grâce à la relation:

S = 1 er terme × 1 q nbre   de   termes 1 q

Une propriété notée P ( n ) peut être démontrée par récurrence, il faut alors procéder à trois étapes pour démontrer que la propriété est vraie à partir d'un rang n 0 :

-L'initialisation: On vérifie que P ( n 0 ) est vraie, c'est à dire que la propriété est vraie au rang n 0 .
-L'hérédité: On suppose que P ( n ) est vraie et on démontre alors, en partant de P ( n ) et par le calcul, que P ( n+1 ) est vraie pour tout n n 0 .
-La conclusion: « On a démontré que P ( n 0 ) est vraie et que, si P ( n ) est vraie, alors pour tout n n 0 , P ( n+1 ) est vraie. On en déduit d'après le principe de récurrence que P ( n ) est vraie. »

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